第 214 章 探索外森比克不等式

在经历了物体缩放知识的深入学习后，学子们的思维愈发敏锐，对于数学的热情也日益高涨。戴浩文深知，此时正是引领他们探索更广阔数学天地的绝佳时机。

这一日，戴浩文踏入学堂，手中拿着几页写满密密麻麻公式的纸张，神情严肃而又充满期待。

戴浩文清了清嗓子，说道：“同学们，今日我们将涉足一个全新且颇具挑战的知识领域——不等式求面积最值。”

此言一出，学子们的脸上既有好奇，也有一丝担忧。毕竟，这是一个从未听闻过的名词。

戴浩文似乎看穿了大家的心思，微笑着解释道：“莫要紧张，我们一步一步来。首先，让我们来了解一下这个不等式究竟是什么。”

他转身在黑板上写下了外森比克不等式的表达式：三角形三条边的长度的平方和大于等于四倍根号三乘以三角形的面积，其中 三角形三条边的长度分别用字母 a、b、c 表示，三角形的面积用字母 S 表示。

李华皱着眉头问道：“先生，这式子看起来甚是复杂，它有何意义呢？”

戴浩文点了点头，说道：“李华问得好。这个不等式告诉我们，对于一个给定的三角形，其三条边的长度的平方和与它的面积之间存在着这样一种特殊的关系。那它有什么用呢？比如说，当我们知道了三角形的三条边的长度，就可以通过这个不等式来估算其面积的最大值。”

学子们似懂非懂地点了点头。

戴浩文接着说：“接下来，让我们一起推导这个神奇的不等式。”

他拿起粉笔，开始了详细的推导过程。

“首先，我们从三角形的面积公式 三角形的面积等于二分之一乘以两条边的长度之积再乘以这两条边夹角的正弦值 入手。”戴浩文边写边说，“因为 正弦值的取值范围是 大于等于负一小于等于一 ，所以我们有 正弦值小于等于一 。”

“那么，三角形的面积小于等于二分之一乘以两条边的长度之积 。”

王强举手问道：“先生，那接下来呢？”

戴浩文笑了笑，继续写道：“接下来，我们运用余弦定理 三角形一条边长度的平方等于另外两条边长度的平方和减去这两条边长度之积的二倍再乘以这两条边夹角的余弦值 ，将其变形为 二倍的两条边长度之积乘以这两条边夹角的余弦值等于另外两条边长度的平方和减去这条边长度的平方 。”

“由于 余弦值的取值范围是 大于等于负一小于等于一 ，所以 二倍的两条边长度之积乘以这两条边夹角的余弦值 的取值范围是 大于等于负二倍的两条边长度之积小于等于二倍的两条边长度之积 ，即 三角形一条边长度的平方减去另外两条边长度的平方小于等于二倍的两条边长度之积且 三角形一条边长度的平方减去另外两条边长度的平方大于等于负二倍的两条边长度之积 。”

“将其移项得到：三角形一条边长度的平方大于等于另外两条边长度的平方减去二倍的两条边长度之积 且 三角形一条边长度的平方小于等于另外两条边长度的平方加上二倍的两条边长度之积 。”

赵婷眼睛一亮，说道：“先生，我好像有点明白了。”

戴浩文鼓励道：“赵婷，那你说说你的想法。”

赵婷站起来说道：“先生，是不是可以通过这些式子进一步变形得到我们想要的结果？”

戴浩文赞许地点了点头：“赵婷聪慧。我们对 三角形三条边长度的平方和 进行处理。”

“三角形三条边长度的平方和等于二分之一乘以（第一条边长度的平方加第二条边长度的平方）加上（第二条边长度的平方加第三条边长度的平方）加上（第三条边长度的平方加第一条边长度的平方） 。”

“因为 （一个数减去另一个数）的平方大于等于零 ，所以 第一条边长度的平方加第二条边长度的平方大于等于二倍的第一条边长度乘以第二条边长度 ，同理 第二条边长度的平方加第三条边长度的平方大于等于二倍的第二条边长度乘以第三条边长度 ，第三条边长度的平方加第一条边长度的平方大于等于二倍的第三条边长度乘以第一条边长度 。”

“所以，三角形三条边长度的平方和大于等于第一条边长度乘第二条边长度加上第二条边长度乘第三条边长度加上第三条边长度乘以第一条边长度 。”

戴浩文顿了顿，看着学子们专注的神情，继续说道：“而 第一条边长度乘以第二条边长度加上第二条边长度乘以第三条边长度加上第三条边长度乘以第一条边长度 等于 根号下（第一条边长度乘以第二条边长度）的平方加上 根号下（第二条边长度乘以第三条边长度）的平方加上 根号下（第三条边长度乘以第一条边长度）的平方 。”

“根据柯西不等式，（根号下（第一条边长度乘以第二条边长度）的平方加上 根号下（第二条边长度乘以第三条边长度）的平方加上 根号下（第三条边长度乘以第一条边长度）的平方）乘以（根号下（第二条边长度乘以第三条边长度）的平方加上 根号下（第三条边长度乘以第一条边长度）的平方加上 根号下（第一条边长度乘以第二条边长度）的平方）大于等于 （第一条边长度乘以第二条边长度加上第二条边长度乘以第三条边长度加上第三条边长度乘以第一条边长度）的平方 。”

小主，

“即 （第一条边长度乘以第二条边长度加上第二条边长度乘以第三条边长度加上第三条边长度乘以第一条边长度）的平方 大于等于 三倍的第一条边长度乘以第二条边长度乘以第三条边长度乘以（第一条边长度加第二条边长度加第三条边长度） 。”

“又因为三角形的面积 等于根号下[（三角形周长的一半）乘以（三角形周长的一半减去第一条边长度）乘以（三角形周长的一半减去第二条边长度）乘以（三角形周长的一半减去第三条边长度）] ，其中 三角形周长的一半 等于 （第一条边长度加第二条边长度加第三条边长度）除以二 。”

“经过一系列复杂的代数运算和变形，我们最终可以得到外森比克不等式 三角形三条边长度的平方和大于等于四倍根号三乘以三角形的面积 。”

此时，学子们已经被这严密的推导过程深深吸引，虽然还有些地方不太明白，但他们的眼神中充满了对知识的渴望。

戴浩文给大家留出了一些时间来消化刚刚的推导过程，然后说道：“下面我们通过几个具体的例子来看看这个不等式的应用。”